无论是对于实践还是理论，可以倒过来执行这一程序都是很重要的。特别是在解密里，为了找出爱丽丝的解密数d，我们想要d满足de除以φ(n)余1的条件。为了简洁，我们用一个单独的符号k来代表φ(n)。 现在就可以看出我们坚持要e和k互素的原因了。因为如果它们的最大公因数是1，当我们对e和k执行欧几里得算法时，最终出现的余数自然是1。倒过来执行这一算法，我们就能最终把1表示成e和k的组合。特别地，我们会找到整数c和d，它们满足ck＋de=1，或者换句话说de=1-ck。因此de除以k会余1。
这个相对简单的过程将给出爱丽丝的解密数d：直接从方程里得出的d的值可能不在1到k的范围内；倘若不在，通过加上或减去合适的k的倍数，我们最终可以找到那个d，在给定范围内，它是唯一具有de除以k余1这个神奇性质的数。（我们可以轻松证明d的唯一性，不过这里还是不要离题太远了。）这便是如何计算解密数d的方法。我们可以回到前面的例子来说明，这里p=5，q=13，于是n=pq=5×13=65。我们有φ(n)=(p-1)(q-1)=4×12=48。爱丽丝设定 e=11，由于11与48互素，这在游戏规则所允许的范围内。应用欧几里得算法于φ(n)=k=48和11，可得：